夫婦が共働きで、それぞれ健康保険に加入している場合、子ども等の被扶養者は、原則として夫婦いずれか収入の多い方で認定を受けることになります。
　一方、家族手当の支給対象者は、各企業の賃金規程で自由に定義することができます。一般的には、「健康保険法上の被扶養者」または「所得税法上の扶養親族」としていることが多いでしょう。 　仮に、あなたの妻の勤務先の賃金規程に、前者のような定義をされているとしたら、家族手当をもらうことはできません。
　逆に、後者の定義だとしたら、所得税の扶養控除等申告書への記載の際、あなたではなく、あなたの妻の方に、子の名前を記載すればいいことになります。健康保険とは違い、所得税の扶養親族については、収入の多い方に記載しなければいけないという決まりはありません（なお、現行の所得税法上は、16才未満の子は控除対象ではありませんが、扶養親族の定義（所得税法2条１項34号）に該当することに違いはありません）。
　もっとも、あなたの妻の勤務先では、健康保険は被扶養者でないのに、所得税では扶養親族と扱い、家族手当を支給する、ということになり、事務担当者にとってはややこしいことになりますが。