その店長は、年次有給休暇（年休）に関して、中途半端な法律知識をお持ちのようです。
　年休は、労働者が使用者（お店の側）に対して、「○月○日に年休を取ります」と通知することによって、使用者が後述の時季変更権を行使しない限り、自動的に成立します。ここに、使用者による「承認」といった観念は存在しません。この、労働者が年休を取りたい日を指定する権利を、「時季指定権」といいます。
　一方、指定された日に年休を与えると事業の正常な運営を妨げる場合、使用者は、ほかの日に年休を変更させることができます（労基法39条5項ただし書き）。この使用者側の権利を、「時季変更権」といいます。
　ところが、困ったことに「時季変更権」のことを簡単に考えている使用者があまりにも多いのです。単に忙しいからとか、いつも人手不足だからとかを理由としても、「事業の正常な運営を妨げる」場合として認められません。これで時季変更権が行使できるのなら、多くの飲食店では、年休なんて永久に取れなくなってしまいます。
　「事業の正常な運営を妨げる」と認められるためには、「当日の業務運営には、どうしてもその人が欠かせない」「同じ日に、多くの人が年休を取ろうとしている」などといった事情がなければなりません。
　そもそも、使用者には、できるだけ労働者が指定した時季に年休を取得できるよう状況に応じた配慮をすることが求められています。この配慮として、代替要員の確保、勤務表の調整などが挙げられます。これらの努力をせずに時季変更権を行使することは許されません。ご質問のケースは、あなたが年休を取れるように、お店の側が本当にこれだけの努力をしたのかどうかが、一つのポイントとなります。
　次に、仮に「事業の正常な運営を妨げる」場合であったとして、お店は変更後の年休取得日を一方的に指定できるのでしょうか。これは、「時季変更権」というネーミングのせいで起こる、よくある誤解です。使用者は、「指定された日に年休を与えることはできませんので、別の日に取ってください」と意思表示することで、時季変更権を行使したことになります。変更後の別の日を指定することもできないし、指定する義務もありません。変更後の年休取得日は、あらためて労働者が時季指定権を行使して指定しなければなりません。（使用者が年休取得日を一方的に指定できる唯一の制度として、「計画年休」がありますが、今回は触れません）

　時季変更権は、正当なお店の権利ですが、誤解が多いのもまた事実です。適法な権利行使をしないと、かえって痛い目にあうことになりかねないので、しっかり理解してください。