健康保険と厚生年金保険の社会保険料は、給与天引きのタイミングがややこしいので、ときどき混乱が生じているようです。
　社会保険料天引きのルールその１は、「保険料は“月”を単位に掛かる」です。月の途中で入退社があっても、日割りはされません。そして、ルールその２として、「月末に在籍していれば、その月の保険料が掛かる」ことが言えます。たとえば、5月1日に入社しても、5月31日に入社しても、月末である5月31日に在籍しているので、5月分の保険料は掛かることになります。一方、5月30日に退職した場合は、5月分の保険料は掛かりませんが、5月31日退職だと掛かります。
　そして、ルールその３として、「当月分の保険料は、翌月にある支給日の給料から天引きされる」ことになります。5月分の保険料は、6月25日の給料から天引きされます。とにかく支給日が問題であって、月末締めだろうが10日締めだろうが、締め日は関係ありません。
　したがいまして、ご質問のケースは、6月25日支給給料から天引きされたのは5月分の保険料であり、国民健康保険料の徴収が6月分からだったということで、二重払いにはなっていません。
　このように、保険料天引きのルールはややこしいので、お店の給与計算が間違っていることもよくあります。例えば、6月1日入社なのに6月25日給料から天引きされているのは間違いです。注意した方がいいでしょう。