結論としては、お店の責任を追及することはできません。
健康保険では、被保険者（従業員本人）に扶養されている一定範囲の親族について、年収等の要件を満たすと、被扶養者として認定されます。被扶養者自身は、保険料を負担することなく、健康保険からの給付を受けることができます。基準を満たしているのなら、手続をして被扶養者となるのがお得と言えます。
被扶養者認定の手続には、「健康保険被扶養者（異動）届」という届書が必要です。この届書を作成するのは被保険者本人です。被保険者は、記入・押印した届書を事業主（お店の側）に届け出ます。受け取った事業主は、事業主印を押印して年金事務所に提出します。法的には、事業主は『経由』をするだけで、手続の主体はあくまでも被保険者本人です。事業主としては、従業員からの届出にもとづいて、事務手続をしなければならないだけです。ご質問のように、本人が知らずに届出をしなかったからといって、事業主が責任を負うことはありません。