20歳前に厚生年金を抜けて、転職活動中ということは、いずれの年金制度にも加入していない状態であり、保険料納付の必要もありません。一度加入した年金制度なのに、退職によって空白期間になるのが正しいのかどうか心配されているのだと思いますが、問題ありません。
　「年金は20歳になったら加入するもの」というイメージが、一般にはあるようです。しかし、正確には20歳以上という条件があるのは、国民年金の第1号被保険者や第3号被保険者の場合です。厚生年金保険には、何歳以上で加入するといった年齢の下限要件はありません。たとえ20歳前でも、中学卒業や高校卒業で、厚生年金保険が適用されている事業所に就職すると、そこで厚生年金に加入する（被保険者になる）ことになり、また、厚生年金保険の被保険者は同時に国民年金の第2号被保険者になります。年金手帳もこの時点で交付されます。
　その後、退職すると厚生年金保険から抜けることになりますが、この時点で20歳前ですと、どの年金制度にも加入していないことになります。さらにその後、厚生年金保険の適用されている事業所に就職すれば、そこで再度加入することになりますし、そうではなく就職より先に20歳を迎えると、そこで国民年金第1号被保険者となります。