現在、加入されている健康保険が、全国健康保険協会（協会けんぽ）であるという前提でお答えします。
　任意継続被保険者が住所変更をした場合、「任意継続被保険者氏名・住所・性別・生年月日・電話番号変更（訂正）届」（以下、本稿では、単に「住所変更届」といいます）を提出しなければなりませんが、提出先には注意が必要です。
　協会けんぽは、都道府県ごとに支部を設け、支部ごとに運営しています。任意継続被保険者は、自宅の住所地を管轄している支部で加入し、被保険者となります。同じ都道府県の中での住所変更で引っ越した場合、現在の健康保険証に記載されている支部（東京都なら東京支部）に住所変更届を提出すれば、手続は終わりです。
　一方、都道府県が変わる場合、引っ越し先の住所地を管轄する支部（ご質問の場合、千葉支部）に、「住所変更届」を提出します。後日、新しい健康保険証がお手元に郵送されてきます。それまで、従来の健康保険証は今までどおり使えます。
　また、保険料率は都道府県ごとに異なりますので、引っ越した後は、納める保険料も変更となります。