残念ながら、あなたの場合は再就職手当をもらうことはできません。
　まず大前提として、再就職手当をもらうことができるのは、『失業給付（正確には、「基本手当」といいます）を、もらえる人が、基本手当の給付日数を一定以上残して早期に再就職できた人』です。
　そもそも、雇用保険法における「失業」の定義は、「労働の意思及び能力があるにもかかわらず、職業に就くことができない状態」のことです。失業給付の法的趣旨も、失業して収入が無く、生活が成り立たない者に対して、国から手を差し伸べるセーフティネットという意味合いなのです。
　そう考えると、あなたは今のお店を退職する前から、次の仕事が決まっているラッキーな人間だということになります。今のお店を退職した瞬間でさえ、次の仕事が決まっている以上、法律上は「失業」したことにはならず、失業給付を受けることもできません。そうなると、再就職手当をもらうこともできません。
　今1度、再就職手当をもらうための条件を確認しておきましょう。再就職手当とは、失業の認定を受けた、基本手当の受給資格者が、基本手当の支給日数を、3分の1以上残して再就職した場合に支給される保険給付です。支給額は、支給日数を3分の2以上残して再就職した場合には、基本手当日額×支給残日数×60％、3分の1以上3分の2未満の場合には、基本手当日額×支給残日数×50％です。つまり、早く再就職する方が、給付率が高いということです。
　そのほか、再就職手当をもらうための主な条件には、【1】離職した前の事業所に再び就職したものでないこと（資本・人事・取引面で密接な関わりのある事業所もダメ）【2】自己都合退職等による給付制限がある場合、給付制限中、最初の1ヶ月は、ハローワークまたは職業紹介事業者の紹介によって再就職したこと【3】1年を超えて勤務することが確実であること【4】基本手当の受給資格決定前から採用が内定していた事業主に雇用されたものでないこと、といったものがあります。
　ご質問のケースでは、【4】の条件を満たすことができないので、あなたは再就職手当をもらうことはできません。再就職手当の支給申請書には、「採用内定日」を、再就職先の事業主が証明する欄があります。仮に、転職先のお店に、「採用内定日」にウソの日付を書いてもらったとすると、あなた自身も転職先のお店も、不正受給に手を染めたことになります。そうすると、あなたとお店が連帯して、「不正受給金の返還」と「返還金の最高2倍の納付」（合わせて、いわゆる3倍返し）をしなければなりません。また、場合によっては詐欺罪として刑罰に処せられることもあります。

　本文でも触れたとおり、もし採用者から頼まれても、虚偽の採用内定日を記載しては絶対にいけません。そもそも、そのような不正行為にあたる申し出をしてくる者が、この先あなたのお店でずっとマジメに働くかどうか怪しいものです。