いいえ。正しくは、31日以上の雇用見込みとなった時点で加入することになっています。したがって、ご質問の場合には、当初の雇入れから10日たったところで加入となります。
　まず、雇用保険の加入条件を確認しておきましょう。基本となるのは、次の2点両方を満たすと、雇用保険に加入する義務があります。

1. 1週間の所定労働時間が20時間以上であること
2. 31日以上の雇用見込みがあること

　ただし、これら2点を満たしても、昼間部の学生は、原則として適用除外となります。
　さて、（2）の「31日以上の雇用見込み」について、具体的にはどのような判断をするのでしょうか。
　判断の一つ目です。入社時の契約において、雇用期間について「（必ず）更新される」、または「更新される場合がある」旨の明示がある場合には、たとえ31日未満の雇用契約を定めていたとしても、「31日以上の雇用見込み」があるものとして、雇入れ時から雇用保険の加入対象となります。
　判断の二つ目として、更新の明示がない場合です。この場合でも、その事業所において、同様の契約で雇用されている者が、更新等により31日以上雇用されている実績があれば、こちらも「31日以上の雇用見込み」があるものと判断され、雇入れ時から雇用保険の加入対象となります。
　つまり、31日以上雇用されないことが明らかである場合を除き、「31日以上の雇用見込みあり」と判断されるのです。
　それでは、雇入れ当初は、31日未満の雇用契約で、かつ更新されないことが明示されていたので、雇用保険に加入していなかったものの、契約が更新・延長されて31日以上の雇用見込みとなった場合はどうなるでしょう。この場合、31日以上の雇用見込みとなった時点で（更新・延長の契約をした時点で）雇用保険に加入することとなっています。決して、延長となった期間が開始された時点で加入するわけでも、雇入れから31日目に加入するわけでもありません。

このようなルールで加入すると、加入日から退職日までの加入期間が31日を下回るケースもあり、不思議に思われることもあります。しかし、それで間違いではありません。