試用期間とは、採用した労働者の人物、職務に対する能力等、従業員としての適格性を判断するための期間のことです。試用期間満了後、従業員として問題無し、と判断されれば本採用になります。
　アルバイトが正社員に登用されるケースとは、その労働者のアルバイトとしての勤務ぶりから、人物や能力に太鼓判を押されたということでしょう。そうすると、正社員に登用されてから、あらためて適格性を判断するというのは、おかしな話です。したがって、通常はあらためて試用期間を設けることは認められないでしょう。 　ただし、例外は考えられます。一つは、アルバイトとしての期間が短い場合です。特に、試用期間よりアルバイト期間の方が短い場合には、認められる可能性が高いでしょう。もう一つは、アルバイト中とはまったく異なる職種に配属される場合です。例えば、店舗スタッフとしてアルバイト勤務した後、正社員として本社の経理部に配属されるような場合、あらためて職務能力を判断するということは考えられます。
　ご質問の場合、アルバイトとして２年も働いていて、そのままの職種で正社員となるようですので、あらためて試用期間を設定することは許されないでしょう。