結論としては、お店側が解雇をするのは難しいでしょう。
　まず、容姿、服装、髪型等、「どんな格好」をするかは、個人の趣味や嗜好に属することであり、本来は各人の自由です。これが大原則です。とはいえ、いくら私生活上の自由があるとはいえ、労働契約を締結して職場で働くということは、その職場の秩序を維持することが求められます。そのために、使用者（お店の側）は、身だしなみについても、経営上の必要な範囲で合理的な規制を定めることは認められています。そして、この合理性の基準は、職種や職務内容によって判断されます。
　たとえば、口ひげを生やしていたハイヤー運転手に関する裁判例では、「人の心情に依存する要素が重要な意味を持つサービス提供を本旨とする業務においては、身だしなみ、言行などが企業の信用、品格保持に深甚な関係を有するから、他の業種に比して一層の規制が課せられるのはやむを得ない」と規制を課すこと自体は認めました。しかし、「規制の対象となるのは、無精ひげとか異様・奇異なひげだけである」として、本件では口ひげを剃る必要はない、と判断しました。
　また、トラック運転手が茶髪を理由に解雇された事案では、「髪の色や形、容姿、服装といった人の人格や自由に関する事項を制限する場合、企業の円滑な運営に必要かつ合理的な範囲にとどまるべき」として、裁判所は解雇を無効と判断しました。
　ただ、入れ墨は、ひげや茶髪と比べ、社会に受け入れられているわけではなく、同じ基準で論じることはできないでしょう。ましてや、接客業や社外の取引先と接する業務の場合には、相手に恐怖感や不快感を与えたり、反社会的勢力とのつながりを疑われたりするものです。したがって、入れ墨を禁止する規制は、通常の身だしなみ規制より広く認められるでしょう。ただし、その規制も、「顧客から見える部位に入れ墨がある場合に限る」と、限定的な解釈になると考えられます。
　ご質問のケースは、一年を通してお客様からは見えない部位に入れ墨があること、お店には入れ墨を禁止する規制がなかったこと、からすると、解雇は無効となる可能性が高いでしょう。