諭旨退職（「ゆしたいしょく」と読みます）とは、懲戒処分の種類の一つです。懲戒処分の種類は、処分の軽い順に、訓戒、譴責、減給、出勤停止、降格、諭旨退職、懲戒解雇といったものがあります。つまり、懲戒解雇より、『一段軽い』処分ということになります。
　諭旨退職は、法律に定義があるわけではないので、具体的にどのような処分が行われるかは、就業規則の定め方しだいです。一般的には、
「懲戒解雇に相当する事由がある場合において、本人に反省が認められるときは、退職願を提出するよう勧告する。ただし、退職願を提出しないときは、懲戒解雇とする」
といった規定になっていることが多いようです。
　退職願を提出することで、懲戒処分でありながら、労働契約終了の類型としては、自発的な退職として扱われることになります。このことは、労働者にとって、再就職の活動をする際、懲戒解雇されたとのレッテルを貼られるよりは、メリットとなります。
　また、懲戒解雇となった場合、通常は退職金がまったく支給されないか、大幅に減額されて支給されます。一方、諭旨退職であれば、一部の減額か、全額支給とすることとなっています。この点も、諭旨退職に応じる労働者側のメリットとなります。
　一方、懲戒処分の有効性が裁判沙汰になって争われた場合、使用者（お店の側）の懲戒権の行使が、権利の濫用に当たるのか否かが判断されることになります（労働契約法15条）。懲戒解雇は、職業生活においては、いわば「死刑宣告」と同じ「極刑」です。裁判所の判断も使用者にとって厳しくなります。それよりは、退職金の支給をちらつかせてでも、諭旨退職を適用する方が、有効性の判断において、使用者側のハードルは下がります。ご質問のケースも、オーナーは、それらの状況を計算した上で、諭旨退職がお店に有利になると見極めたのでしょう。
　さて、労働者側の立場としては、どのような対応をとるべきでしょうか。一般論としては、懲戒解雇が無効になりそうなケースでは、退職願は提出せずに、とことん争うべきでしょう。逆に、懲戒解雇が有効になりそうなケースなら、おとなしく退職願を提出した方が、メリットがあるでしょう。
　ご質問のケースは、売上金の着服とのことです。金銭の横領は、金額や態様によっても異なってきますが、一般的には懲戒権の行使が認められやすいタイプの事案です。ここはおとなしく、退職願を提出した方が、あなたのためになるかもしれません。
　なお、就業規則によっては、「諭旨退職」ではなく「諭旨解雇」と規定しているものもあります。両者を混同しているケースもあれば、懲戒解雇より一段軽いだけで、自発的退職ではなく、解雇として処理するケースもあります。就業規則の規定しだいで、処分の内容も異なります。