原則的には、店長の言っていることは正しいことになります。
　期間の定めの無い労働契約（無期労働契約）を締結している労働者は、原則2週間前に申し入れることによって、いつでも労働契約を解約し、退職することができます（民法627条1項）。これを「辞職」といいます。「いつでも」とは、「理由がなくても自由に」という意味です。
　一方、期間の定めのある労働契約（有期労働契約）の場合、やむを得ない事由がないと契約期間の中途で解約することはできないとされています（民法628条）。この規定は、使用者（お店側）からの解約（つまり、解雇）にも、労働者側からの解約（退職）にも適用されます。（使用者側からの解約については、労働契約法17条1項にも、同じ意味の規定があります。）趣旨としては、契約期間は使用者と労働者が合意の上で決定したものであり、双方が遵守しなければならないものだからです。また、契約期間が満了すれば自動的に解約になるのに、中途で解約するということは、それさえ待てないほどの「やむを得ない事由」が必要である、という意味もあります。
　では、どういったケースであれば「やむを得ない事由」と判断されるでしょうか。ご質問の場合、「家庭の事情」とのことですが、例えば家族の介護のために、仕事を続けられないということでしたら、「やむを得ない事由」と認められる可能性が高いでしょう。
なお、民法628条は、使用者側からの解約については強行規定であるのに対し、労働者側からの解約については任意規定とされ、「やむを得ない事由がなくても退職できる」という合意は有効と解釈されています。
さらに補足すると、有期労働契約の契約期間の上限は原則3年までとなっていますが（労働基準法14条1項）、契約期間の初日から1年を経過すると、いつでも退職することができるとされています（労働基準法附則137条）。

　無期労働契約の場合、労働者には退職の自由があり、退職を阻止することはできません。逆に、有期労働契約の場合は、自由に退職できないのが原則となります。やむを得ない事由がないのに退職した労働者に対して、理論上は、損害賠償請求も可能です。ただ、労働者本人の事情もさまざまですので、頭ごなしにダメというのではなく、よく話し合うようにしてください。