いいえ。契約更新時にも、採用時と同様に、お店には書面の交付義務がありますので、現状では、法律違反ということになります。
　お店が、労働者を採用するということは、労働契約を締結することですが、その際に、双方が記名押印するような「労働契約書」といった書面を交わすことは、法律で義務づけられていません。しかし、それでは後々、言った言わないの労務トラブルに発展する可能性があります。そこで、労働基準法では、一定の重要な労働条件に関しては、明示することを義務づけていて、特に重要な賃金や労働時間等については、書面で通知することを義務づけています（15条）。この点は、ご質問のケースもクリアしているようです。
　さて、有期契約労働者が、労働契約を更新するということは、今までの契約は終了し、また新たな契約を締結するということです。労働契約を締結するという点では、採用時も契約更新時も同じことであり、労働基準法15条の適用があります。したがって、契約更新時にも、一定の労働条件を、書面で通知しなければならないというわけです。

　労働条件を明示する様式のことを、「労働条件通知書」とか「雇入れ通知書」とか呼ばれます。「『契約更新』は『雇入れ』ではないから」と思い込んで、契約更新時に書面を交付しないことがあるようですが、これは誤解です。